S1 =1 cm (alkuperäinen koko)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Voimme tarkkailla kuviota täällä. Kuoren koko kussakin vaiheessa saadaan lisäämällä 1/3 edellisen vaiheen koosta.
Yleisesti ottaen kuoren koko n:n vaiheessa voidaan ilmaista seuraavasti:
Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
Rapujen kuorien (alkuperäinen kuori) lukumäärän määrittämiseksi meidän on löydettävä arvo n, jolle SN ≥ 10 cm.
10 cm ≤ Sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Voimme tunnistaa haarukan sisällä olevan lausekkeen geometrisen sarjan summana ensimmäisellä termillä 1 ja yhteinen suhde 1/3. Geometrisen sarjan summa antaa:
Sum =A1 / (1 - R), missä A1 on ensimmäinen termi ja R on yleinen suhde.
Kytkettynä a1 =1 ja r =1/3, saamme:
Summa =1/(1 - 1/3) =3/2
Siksi,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Tämä tarkoittaa, että rapu katkaisee kuorensa, kun se saavuttaa noin 6,67 cm.
Kuorien lukumäärän määrittämiseksi meidän on löydettävä N -arvo siten, että SN ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
6,67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Koska geometrisen sarjan summa on 3/2, meillä on:
6,67 cm ≤ S1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Tämä tarkoittaa, että rapu katkaisee kuorensa, kun sen koko ylittää 4,45 cm.
Nyt meidän on määritettävä vaiheiden tai moltien lukumäärä, jonka rapu käy läpi, ennen kuin sen koko ylittää 4,45 cm.
Alkaen S1 =1 cm:stä, voimme laskea seuraavat vaiheet seuraavasti:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Voimme nähdä, että S4 on suurempi kuin 4,45 cm. Siksi rapu katkaisee kuorensa siirtymisen aikana kolmannesta vaiheesta (S3) neljänteen vaiheeseen (S4).
Joten rapuja on vuodatettu 3 kuorta (lukuun ottamatta alkuaikasta) siihen mennessä, kun sen koko ylittää 10 cm.